Ένα Μαθηματικό ταξίδι στον χρόνο: Λύθηκε ένα από τα μεγάλα άλυτα προβλήματα της Φυσικής

Περισσότερο από έναν αιώνα μετά την πρόκληση του David Hilbert προς τους μαθηματικούς να θεμελιώσουν τη Φυσική πάνω σε μαθηματικές βάσεις, μια διεθνής ομάδα τριών μαθηματικών κατάφερε κάτι που έμοιαζε αδύνατο: να αποδείξει πώς η συμπεριφορά μεμονωμένων μορίων μπορεί να οδηγήσει στην προβλέψιμη, ομαλή ροή των ρευστών που παρατηρούμε καθημερινά – και μαζί με αυτό, να ρίξει φως στον λόγο που ο χρόνος κινείται μόνο προς τα εμπρός.

Η προσπάθεια ξεκίνησε από το περίφημο έκτο πρόβλημα του Hilbert, το οποίο διατυπώθηκε το 1900, ως μέρος μιας ευρύτερης ατζέντας για την καθιέρωση της Φυσικής σε αυστηρή μαθηματική γλώσσα. Ειδικά, ζητούσε από τους μαθηματικούς να αποδείξουν με αδιάσειστα λογικά επιχειρήματα ότι οι νόμοι που περιγράφουν τα επιμέρους μόρια και εκείνοι που περιγράφουν τη μαζική συμπεριφορά ενός αερίου δεν είναι απλώς συνεπείς, αλλά απολύτως συνδεδεμένοι μεταξύ τους.

Αν και η διατύπωση του προβλήματος έμοιαζε αφηρημένη, το ερώτημα είναι ουσιώδες: Πώς μπορεί η χαοτική κίνηση δισεκατομμυρίων σωματιδίων να καταλήγει σε μια ρευστή και ομαλή ροή αέρα ή νερού, όπως τη βλέπουμε στον κόσμο γύρω μας;

Για δεκαετίες, μαθηματικοί προσπάθησαν να καλύψουν το μαθηματικό κενό μεταξύ των επιπέδων περιγραφής, από τα μικροσκοπικά μόρια που ακολουθούν τους νόμους του Newton, έως τις στατιστικές εξισώσεις του Boltzmann και στη συνέχεια στις εξισώσεις Navier-Stokes που περιγράφουν τη ροή υγρών και αερίων σε μακροσκοπική κλίμακα.

Η πιο δύσκολη σύνδεση ήταν αυτή από τη μικροκλίμακα (συστήματα σωματιδίων) προς τη μεσοκλίμακα (στατιστικά μοντέλα τύπου Boltzmann). Αν και υπήρξε πρόοδος στη μετάβαση από τη μεσοκλίμακα στη μακροσκοπική περιγραφή, η αρχική μετάβαση είχε μείνει άλυτη για περισσότερο από έναν αιώνα.

Αυτό άλλαξε όταν οι Yu Deng, Zaher Hani και Xiao Ma απέδειξαν ότι (τουλάχιστον σε έναν συγκεκριμένο και ρεαλιστικό τύπο αερίου) το μοντέλο του Boltzmann μπορεί πράγματι να προκύψει από τις αρχές του Newton. Το επίτευγμα τους δεν ήταν απλώς μια επιτυχία στο πλαίσιο του Hilbert, αλλά και μια από τις πιο σημαντικές εξελίξεις στη μαθηματική φυσική των τελευταίων δεκαετιών.

Το πρόβλημα είχε τις ρίζες του σε μια «υπόθεση ανεξαρτησίας»: Για να λειτουργήσει το μοντέλο του Boltzmann, τα σωματίδια πρέπει να αλληλεπιδρούν μεν, αλλά όχι να συγκρούονται ξανά και ξανά μεταξύ τους. Το να αποδείξει κανείς ότι τέτοιες επανασυγκρούσεις είναι εξαιρετικά σπάνιες, ακόμη και σε μεγάλα χρονικά διαστήματα, αποτελούσε την πρόκληση.

Ο Oscar Lanford είχε κάνει ένα πρώτο βήμα το 1975, αποδεικνύοντας τη μετάβαση από Newton σε Boltzmann για ελάχιστα χρονικά διαστήματα. Όμως, το πρόβλημά του «κατέρρεε» πριν τα περισσότερα σωματίδια προλάβουν να συγκρουστούν μία φορά.

Οι Deng, Hani και Ma ξεκίνησαν από ένα πιο διαχειρίσιμο σενάριο: ένα αραιό αέριο σε απείρως εκτεταμένο χώρο, όπου τα σωματίδια, τελικά, απομακρύνονται και σταματούν να συγκρούονται. Αυτό επέτρεψε την εφαρμογή νέων μαθηματικών εργαλείων, κυρίως από προηγούμενη δουλειά των Deng και Hani πάνω σε κύματα, προκειμένου να ταξινομήσουν τα πιθανά μοτίβα συγκρούσεων και να υπολογίσουν τις πιθανότητες κάθε ενός.

Η μεθοδολογία αυτή ήταν εξαιρετικά απαιτητική. Χρειάστηκαν μήνες επίμονης εργασίας, καθημερινές πολύωρες συναντήσεις μέσω Zoom και πολλές αποτυχημένες απόπειρες. Όμως σταδιακά, το τρίο διαμόρφωσε μια νέα προσέγγιση που τους επέτρεψε να ελέγξουν ακόμη και εξαιρετικά περίπλοκα μοτίβα αλληλεπιδράσεων.

Μέχρι την άνοιξη του 2024 είχαν ολοκληρώσει την απόδειξή τους και το καλοκαίρι δημοσίευσαν το αποτέλεσμα, επιβεβαιώνοντας ότι τα μοντέλα του Boltzmann όντως απορρέουν από την ουσία των νόμων του Newton, τουλάχιστον στο συγκεκριμένο πλαίσιο.

Λίγο αργότερα, επέκτειναν τη μέθοδο τους στο αρχικό πρόβλημα που απασχολούσε μαθηματικούς για δεκαετίες: το «κουτί με αέριο», όπου τα σωματίδια ανακλώνται στους τοίχους και συνεχίζουν να αλληλεπιδρούν επ’ αόριστον. Με την προσθήκη των παλαιότερων αποδείξεων που συνδέουν Boltzmann με τις εξισώσεις Navier-Stokes, η λογική αλυσίδα ολοκληρώθηκε: από τα μικροσκοπικά σωματίδια έως τις συνεχείς ροές, η φυσική περιγράφεται με συνέπεια και πληρότητα.

Αυτή η εξέλιξη ξεκαθαρίζει επίσης ένα βαθύτερο φιλοσοφικό ζήτημα: γιατί ο χρόνος φαίνεται να ρέει μόνο προς τα μπροστά. Οι εξισώσεις του Newton είναι αντιστρέψιμες, μπορούν να περιγράψουν και το μέλλον και το παρελθόν. Αντίθετα, οι εξισώσεις του Boltzmann και του Navier-Stokes λειτουργούν μόνο προς μία κατεύθυνση. Το μελάνι στο νερό διαχέεται, δεν συγκεντρώνεται ποτέ ξανά αυθόρμητα.

Η μαθηματική επιβεβαίωση αυτής της «ασυμμετρίας του χρόνου» δεν είναι απλώς εντυπωσιακή, αλλά αποτελεί ένα από τα θεμέλια της κατανόησης μας για τη φυσική πραγματικότητα.

[via]